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#81 分数背包

###### 背包问题# 一个小偷在某个商店发现有N个商品，第i个商品价值Vi元，重Wi千克。他希望拿走的价值尽量高，但他的背包最多只能容纳W千克的东西。他应该拿走哪些商品？

#注：背包问题 往下细分 有2种不太一样的问题：0-1背包 和 分数背包#   ·0-1背包：对于一个商品，小偷要么把它完整拿走，要么留下。不能只拿走一部分，或把一个商品拿走多次。（商品为金条）#   ·分数背包：对于一个商品，小偷可以拿走其中任意一部分。（商品为金砂）

### 举例# 商品 1：V1=60  W1=10         1千克 6块钱# 商品 2：V2=100 W2=20         1千克 5块钱# 商品 3：V3=120 W3=30         1千克 4块钱  降序# 背包容量：W=50# 对于0-1背包和分数背包，贪心算法是否都能得到最优解？为什么？

#注：怎么贪心？算单位重量的商品 分别值多少钱，先把单位重量的 更贵的 先拿走，然后如果包里还有地方 拿剩下的#注：这个贪心算法 对于 分数背包 一定是 最优的 ，生活常识。包一定是满的，一点都不剩

#注：对于0-1背包，贪心的来做，拿走的价值是 160 （商品1和商品2 都拿走），是最好的吗？不是最好的，比如 只拿商品1和商品2#注：显然 0-1背包，不能用贪心算法来做。因为 分数背包装的时候，最后肯定是满的，但是 0-1背包不一定，按贪心算法来拿 最后可能剩下很多容量

#82 分数背包实现

goods = [(60, 10), (100, 20), (120, 30)]    # 每个商品元组表示  (价格，重量)goods.sort(key=lambda x: x[0] / x[1], reverse=True)  # 按照单位价格降序排列def fractional_backpack(goods, w):   # 参数 商品、w背包重量    # 贪心拿商品，拿单位重量更值钱的商品，所以先对goods进行排序    m = [0 for _ in range(len(goods))]                   # m表示每个商品拿多少，存结果的    total_v =0                                           # 存结果的 拿走的总价值    for i, (price,weight) in enumerate(goods):        if w >= weight:            m[i] = 1                                     # 这个商品拿多少。拿1整个，或者小数            total_v += price                              # 更新拿走的 价值            w -= weight                                   # 并更新w的值 (背包重量)        else:            m[i] = w / weight            total_v += m[i] * price                       # 更新拿走的 价值            w = 0                                         # 背包满了            break    return total_v, m                                     # 最后返回 存结果的m、total_vprint(fractional_backpack(goods, 50))#结果为# (240.0, [1, 1, 0.6666666666666666])

#注：背包问题，贪心算法，先拿单位重量里最值钱的

#83 数字拼接问题

###### 拼接最大数字问题 (面试经常问)# 切有N个非负整数，将其按照字符串拼接的方式拼接为一个整数。 如何拼接可以使得得到的整数最大？

# 例：32,94,128,1286,6,71可以拼接的最大整数为 94716321286128#注：按照字符串比较的方式 来排序(先比首位，首位大的最大，首位一样的 再往后走……直到有一个最大，那个最大；或者直到有 一个有 一个没有，没有的最大)# (整数比较：32和6,32大；字符串比较：32和6,6大)

#注：128 和 1286 怎么排？(2个数拼接)        # 1286128  1281286，1286128大        # 7286728  7287286，7287286大#注：这个问题怎么解决？贪心的去做，贪头位。但是一个串长、一个串短，并且短串还是长串的子串 (128\1286) 怎么办？

#------------------------------a = "96"        # a和b长度一样时，表达式没问题b = "87"a + b if a>b else b + a#------------------------------a = "128"b = "1286"a + b = "1281286"   # 长度一样b + a = "1286128"   # b + a 大a + b if a+b>b+a else b+a   # 这样写#---------a = "728"b = "7286"a + b = "7287286"b + a = "7286728"#------------------------------

#84 数字拼接问题实现

from functools import cmp_to_key    # 传一个老式的cmp函数，转换成1个key函数li = [32, 94, 128, 1286, 6, 71]# Python2的cmp函数 传2个参数的一个函数,然后根据比较函数返回它们的比较结果 (x
   
    y返回1)def xy_cmp(x, y):                    # 写的cmp函数    if x+y < y+x:        return 1                     # x>y  让大的去前面 x和y交换，因为默认小数在前面    elif x+y > y+x:        return -1    else:        return 0def number_join(li):    li = list(map(str, li)) # 把数字变成字符串    # 接下来 对li 进行一个排序(2个值对比 做交换) 94在最前面    # li.sort(cmp=lambda x,y: )   # Python2的cmp函数 传2个参数的一个函数,然后根据比较函数返回它们的比较结果 (x
    
     y返回1)    li.sort(key=cmp_to_key(xy_cmp))     # 执行后 li已经是排好序的了    return "".join(li)                 # 返回字符串print(number_join(li))# 结果为 94716321286128
    
   

#注：li.sort(key=cmp_to_key(xy_cmp)) 看不懂的话，可以写个快排或者冒泡，冒泡：看2个元素是否交换，看a+b>b+a 还是 a+b

#85 活动选择问题

###### 活动选择问题 (贪心算法)#   ·假设有n个活动，这些活动要占用同一片场地，而场地在某时刻只能供一个活动使用。#   ·每个活动都有一个开始时间Si和结束时间fi（题目中时间以整数表示），表示活动在［Si, Fi）区间占用场地。   #注：Fi这一刻 它不占用，避免问题#   ·问：安排哪些活动能够使该场地举办的活动的个数最多？

#注：11个活动，#  Si 开始时间，#  fi 结束时间，# 怎么安排？贪心的问题

### 贪心结论：最先结束的活动一定是最优解的一部分。 贪最早的点，接下来在剩下的 贪 最早的点……#注：第一个结束的活动，一定在最优解里面#注：最早结束，后面剩的时间越长

### 证明：假设a是所有活动中最先结束的活动，b是最优解中最先结束的活动。# 如果a=b，结论成⽴。# 如果a≠b，则b的结束时间⼀定晚于a的结束时间，则此时用a替换掉最优解中的b，a⼀定不与最优解中的其他活动时间重叠，因此替换后的解也是最优解。#注：为什么 a⼀定不与最优解中的其他活动时间重叠? 因为a比b结束的早 那些活动都在b后面，所以不重叠

#86 活动选择问题实现

activities = [(1,4), (3,5), (0,6), (5,7), (3,9), (5,9), (6,10), (8,11), (8,12), (2,14), (12,16)]    # 活动，1个元组表示1个活动.开始时间、结束时间# 保证活动是按照结束时间排好序的。      因为 贪心 是贪 最早结束的活动，排好序后 直接选第一个activities.sort(key=lambda x:x[1])  # 按结束时间排序def activity_selection(a):   # 传参a 活动    res = [a[0]]    # 最后返回的结果,一开始肯定有a[0]活动，a[0]是最早结束的    #接下来 按照结束时间往后看，是否与前面时间冲突，不冲突 加进去    for i in range(1,len(a)):   # 从1 开始，因为a[0] 已经进去了        # 如果a[i]活动的开始时间>=res最后一个活动的结束时间        if a[i][0] >= res[-1][1]:   # 当前活动的开始时间大于等于最后一个入选活动的结束时间            # 不冲突            res.append(a[i])    return resprint(activity_selection(activities))#结果为 [(1, 4), (5, 7), (8, 11), (12, 16)]   4个活动，一定是最大的

活动选择问题 -- 精简代码

activities = [(1,4), (3,5), (0,6), (5,7), (3,9), (5,9), (6,10), (8,11), (8,12), (2,14), (12,16)]# 保证活动是按照结束时间排好序的activities.sort(key=lambda x:x[1])def activity_selection(a):    res = [a[0]]    for i in range(1, len(a)):        if a[i][0] >= res[-1][1]:   # 当前活动的开始时间小于等于最后一个入选活动的结束时间            # 不冲突            res.append(a[i])    return resprint(activity_selection(activities))#结果为 [(1, 4), (5, 7), (8, 11), (12, 16)]

#87 贪心算法总结

#贪心算法4个例子：找零问题、背包问题、拼接数字、活动选择#注：知道按什么来贪心

#注：4个问题 公共特点：# 首选 都是 最优化问题 (什么什么什么 最多、最少、最大、最小)# 不是所有最优化问题，都能用贪心算法来做， 比如背包问题中的0-1背包，贪心 不是最优的，这类问题 可以用动态规划做

#注：贪心算法 代码比较好写，思路比较简单，速度比较快#注：比如活动选择问题，不用贪心，穷举所有情况，需要穷举很多情况 ，n个活动  要看2**n 种方案。但是贪心算法 代码复杂度 O(n)级别，很快

#88 动态规划介绍

#注：动态规划 是种思想，在各个算法领域都有深入研究：基因测序、基因比对、序列的相似程度、hmm……，很多问题 都可以用动态规划解决

###### 从斐波那契数列看动态规划#   ·斐波那契数列：Fn = Fn-1 + Fn-2        #注：递推式#   ·练习：使用递归和非递归的方法来求解斐波那契数列的第n项#注：斐波拉契数列：后一项是前2项的和

#注：递归写法# 子问题的重复计算

def fibnacci(n):    if n == 1 or n == 2:                        # 终止条件        return 1    else:        return fibnacci(n-1) + fibnacci(n-2)    # 递归条件print(fibnacci(10))#结果为  第5项斐波拉契数列# 55

#注：第100项斐波拉契数列 用递归写法  时间很长很长。数不大，但是计算机很慢，为什么？#原因：子问题的重复计算，递归执行效率低# f(6) = f(5) + f(4)# f(5) = f(4) + f(3)# f(4) = f(3) + f2)# f(4) = f(3) + f(2)# …………              #注：相同的问题算了很多遍# f(3) = f(2) + f(1)# f(3) = f(2) + f(1)# f(2) = 1

非递归方法， 动态规划(DP)的思想 = 最优子结构(递推式) + 重复子问题

def fibnacci_no_recurision(n):    f = [0,1,1]  # 下标是1的第一项是1，下标是2的第二项是1    if n > 2:        for i in range(n-2):    # 求第n项，往里追加，追加n-2次  (求n=3，追加1次；求n=4，追加2次)            num = f[-1] + f[-2] # 算这个数，再append到f里去。这个数 = f最后一项 + f倒数第2项            f.append(num)    return f[n]             # 因为按照下标来的 所以第n项就是f[n]print(fibnacci_no_recurision(100))#结果为 354224848179261915075#注：虽然这个数很大，但是运算很快

#注：为什么递归方法很慢？#注:因为递归执行效率低。为什么递归执行效率低？#注：子问题的重复计算

#注：为什么 不用递归 算的比递归快#注：因为把之算过的问题 存到了列表里，只需要调用就行了 加一次。#注：因为 不递归的 写法里 ，避免 子问题的重复计算，所以效率比 递归写法 高一点#注：不是说 所有的递归 慢问题 都是因为 子问题的重复计算

#注：DP思想 = 最优子结构(递推式) + 重复子问题#注：不想用递归来做，所以用循环方式，把需要的子问题 存起来，只算一遍，后边的值从列表里取这个值#Python里 取巧方法，递归函数前加装饰器 @lru_cache，就能自动缓存重复子问题的@functools.lru_cache

精简代码

# 子问题的重复计算	#注：递归写法def fibnacci(n):    if n == 1 or n == 2:        return 1    else:        return fibnacci(n-1) + fibnacci(n-2)# 动态规划（DP）的思想 = 递推式 + 重复子问题def fibnacci_no_recurision(n):		#注：DP思想    f = [0,1,1]    if n > 2:        for i in range(n-2):            num = f[-1] + f[-2]            f.append(num)    return f[n]print(fibnacci_no_recurision(100))#结果为# 354224848179261915075

#89 钢条切割问题

###### 钢条切割问题#   ·某公司出售钢条，出售价格与钢条长度之间的关系如下表:

#注：一般来说，长的钢条贵点，而且和长度不是倍数关系

#   ·问题：现有一段长度为n的钢条和上面的价格表，求切割钢条方案，使得总收益最大。#注：即 卖出去的钱最多#   ·长度为4的钢条的所有切割方案如下：（c方案最优）

#   ·思考：长度为n的钢条的不同切割方案有几种?

#注：2**(n-1) （2的(n-1)次方）种方案。长度为n的钢条，有n-1个切割的位置，可以切可以不切，每个位置2种选择，所以2**(n-1)种可能#注：如果相同的结果位置不同 看成同一种方案，那么问题很难，在组合数学里叫做整数切割问题#注：一个一个列出来 不太合理

#注：r[i]  最优解，最优解，最优的情况下 能拿到多少钱

#注：长度为2时  5、1+1#注：长度为3    8、6      不切 8块；切1刀变成2和1或1和2 但不考虑 2不管切不切 最多能卖5块钱，所以6块钱#注：长度为4    9、10     不切 9块；切1刀 3和1 不管3切不切这个问题 给个3价格是8，所以9块；切成2和2 ，2价格是5，所以 10# ………………#注：长度为9         不切 24块；切1刀，1和8，1+22=23 不用管8切不切；切2刀，2和7,5+18=23 不用管7切不切；3和6，17+8=25；4和5，23；5和4…………        #注：所以最后 3和6 最大，17+8=25，所以 9 最大值是25#注：动态规划 需要 1个递推式 (即 最优子结构)

###### 钢条切割问题 -- 递椎式#   ·设⻓度为n的钢条切割后最优收益值为rn，可以得出递推式：

#   ·第⼀个参数Pn表示不切割#   ·其他n-1个参数分别表示另外n-1种不同切割方案，对方案i=1,2,...,n-1#       ·将钢条切割为⻓度为i和n-i两段#       ·⽅案i的收益为切割两段的最优收益之和#注：比如说长度为9。9 、1+8 、2+7 、……、8+1 ,这些所有情况 要一个最大值 max#   ·考察所有的i，选择其中收益最大的方案#注：切一刀 (n-1)种方案 和 不切，每一个方案的 收益 是多少。n-1种方案的收益 和不切割的 收益 做对比，选最大值  就是结果

#注：为什么 这是对的？ 最优子结构

###### 钢条切割冋题 -- 最优子结构# 可以将求解规模为n的原问题，划分为规模更小的子问题：完成⼀次切割后，可以将产生的两段钢条看成两个独⽴的钢条切割问题。# 组合两个子问题的最优解，并在所有可能的两段切割⽅案中选取组合收益最⼤的，构成原问题的最优解。# 钢条切割满足最优子结构：问题的最优解由相关⼦问题的最优解组合而成，这些子问题可以独⽴求解。#注：最优子结构：子问题的最优解 能够算大的问题的最优解#注：切1刀，只要算 2部分的最优解，不管这2部分 怎么切的，所有方案中，取最大值max，就是最优解#注：最优子结构 就是一个 递推式，DP中 最重要

###### 钢条切割问题 -- 最优子结构# 钢条切割问题还存在更简单的⽅法# 从钢条的左边切割下⻓度为i的⼀段，只对右边剩下的⼀段继续进⾏切割，左边的不再切割# 递推式简化为

# 不做切割的⽅案就可以描述为：左边⼀段⻓度为n，收益为Pn，剩余⼀段⻓度为0，收益为r0=0。#注：切1刀，但是左边不切了，只切右边。把右边r n-1 换成P n-1#注：即 如果长度为9,9不切 24； 1+8 1不切的价格 + 8最优解22； 2+7 2不切的价格 + 7最优解17……#注：左边不切，右边继续切  即左边原价，右边选择最优解#注：为什么可以这样算？为什么这样做最简单？ (即p + r)

#注：假如说 9 ，切成2 3 2 2 价格最大。#注：在原来的 递推式里 可以看成 5 + 4  价格最大#注：左边 5 再切成 2和3，右边 4 再切成 2和2#注：但是 这个问题 也可以看成 2 3 2 2 ，切成 2 和 7，在 7 里面再接着切#注：所以 递推式 看成一边切、一边不切 相当于看成  一边是左边一段，右边 可以接着切，没有漏的情况#注：而 之前的 递推式 可能会算重复行为。如果 9 切成 2 3 2 2 最优，那么 看成 5 + 4 最优，2 + 7 最优，重复了#注：第2个递推式，看成2 部分 ，只对 右边的 进行切割，左边不切

#90 钢条切割问题：自顶向下实现

写法1 递推式

写法2 递推式

import timedef cal_time(func):    def wrapper(*args, **kwargs):        t1 = time.time()        result = func(*args, **kwargs)        t2 = time.time()        print("%s running time: %s secs." % (func.__name__, t2 - t1))        return result    return wrapper# 写法1# 价格表  长度1 卖1块钱；长度2 卖5块钱p = [0, 1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30]def cut_rod_recurision_1(p, n):   # 参数n  钢条长度 ; p 价格表    if n == 0:               # 递归 终止项 (长度0 卖 0块钱)        return 0    else:                    # 接下来 学会看公式        res = p[n]        for i in range(1, n):   # 从1 到 n-1 的 n-1 种情况            res = max(res, cut_rod_recurision_1(p, i) + cut_rod_recurision_1(p, n-i))   # 函数是求r n 的，递归            # 每次循环 都是res自己跟另一个取最大，取完了n-1次方案，res就是所有方案中最大的那个数        return res#注：没有问题 因为每次循环的时候 res已经取了最大值print(cut_rod_recurision_1(p, 9))#结果为 25#注：第一种写法 肯定很慢：重复计算 ，而且重复计算两# 写法2  还是递归来写，左边不切割 右边切割的式子def cut_rod_recurision_2(p, n):    if n == 0:  # 终止条件，= 0时返回0元        return 0    else:        res = 0        for i in range(1, n+1):    # 递推式下标告诉了范围 从1到n            res = max(res,p[i] + cut_rod_recurision_2(p, n-i))  #p[i] 代表左边 不切割的部分，r n-i  这个函数就是求r的        # for循环完了 res就是最大值        return resprint(cut_rod_recurision_2(p, 9))#结果为 25

#注：给递归函数 加 装饰器 ，会递归的装饰#注：解决方法：套一层马甲  return 原函数

#注：方法1比方法2慢，因为方法1递归了2次，而且n需要算 比n小的所有子问题，子问题都会重复计算。这2个 算法 实际上复杂度很高，慢#注：方法2 只算1个，还是会 重复子问题，最后问题会越来越细#注：递归算法的问题  自顶向下的递归实现，会出现效率差的问题

###### 钢条切割问题 -- 自顶向下递归实现# 为何⾃顶向下递归实现的效率会这么差？# 时间复杂度 O(2**n)

#注：那怎么办？答：动态规划的解法

###### 钢条切割问题 -- 动态规划解法# 递归算法由于重复求解相同子问题，效率极低# 动态规划的思想：# 每个子问题只求解一次，保存求解结果段之后需要此问题时，只需查找保存的结果#注：动态规划需要2点：1、最优子结构（递推式）    2、重复子问题#注：自底向上的算 ，就不会重复求解；而 递归是 直接来r(n)来算，不好。# 算r(1)，算完存到列表里不需要重复算，算r(2)……#注：这就是 不用递归，用 循环、迭代、动态规划的思想 解决问题

递归写法 精简代码

写法1 递推式

写法2 递推式

def cut_rod_recurision_1(p, n):    if n == 0:        return 0    else:        res = p[n]        for i in range(1, n):            res = max(res, cut_rod_recurision_1(p, i) + cut_rod_recurision_1(p, n-i))        return resdef cut_rod_recurision_2(p, n):    if n == 0:        return 0    else:        res = 0        for i in range(1, n+1):            res = max(res, p[i] + cut_rod_recurision_2(p, n-i))        return res

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